Clases de conjuntos
Conjunto finito
Un conjunto finito A es un conjunto cuyo número de elementos es un número natural. Una manera de expresar esto es que los elementos de A y los elementos del conjunto {1, 2, ..., n} se pueden emparejar uno a uno, sin que sobre ningún elemento en ninguno de los dos conjuntos.
La propiedad de un conjunto de ser finito se conserva bajo ciertas condiciones:
- La unión de dos (o una cantidad finita cualquiera) de conjuntos finitos es finita.
- La intersección de un conjunto finito con uno o más conjuntos arbitrarios es finita.
- Todo subconjunto de un conjunto finito es finito a su vez.
- En particular todo subconjunto de un conjunto finito tiene una cantidad menor o igual de elementos: si S ⊊ A y |A| = n, entonces |S| < n.
- El conjunto potencia de un conjunto finito con n elementos es finito, y posee 2n elementos.
Conjunto infinito
Un conjunto infinito es un conjunto que no puede ponerse en correspondencia biunívoca con ningún conjunto {1, 2, 3, ..., n} para ningún número natural n.
Los conjuntos infinitos poseen las siguientes propiedades:
- La unión de dos conjuntos es infinita siempre que al menos uno de ellos sea infinito.
- Cualquier conjunto que contenga un conjunto infinito es infinito a su vez.
- El conjunto potencia de un conjunto infinito es infinito a su vez.
Aunque ningún número natural se corresponde con el número de elementos de un conjunto infinito, se pueden «contar» la cantidad de dichos elementos usando
números transfinitos. Puede entenderse entonces que los conjuntos infinitos «más pequeños» son los
conjuntos numerables, como el conjunto de los números naturales.
Conjunto vacío
el
conjunto vacío es el
conjunto que carece de
elementos. Puesto que lo único que define a un conjunto son sus elementos, el conjunto vacío es único.
- El conjunto vacío se define como {x: x ≠ x}
El conjunto vacío es denotado por los símbolos:
derivados de la letra
Ø de las lenguas
danesa y
noruega, entre otras. Esta notación fue introducida por
André Weil en 1939.
1 Otra notación común para el conjunto vacío es la notación
extensiva, especificando sus elementos (ninguno) entre
llaves:
El conjunto vacío es único ya que lo único que distingue a un conjunto son sus elementos:
Dos conjuntos sin elementos son iguales.
Conjunto unitario
Un
conjunto unitario es un
conjunto con un único elemento. Por ejemplo, el conjunto { 0 } es un conjunto unitario. Observe que un conjunto como, por ejemplo, { { 1, 2, 3 } } es también un conjunto unitario: el único elemento es un conjunto (que, sin embargo, no es unitario). Un conjunto es unitario si y solamente si su
cardinalidad es uno. En la construcción -teorético-conjuntista de los números naturales, el número 1 es definido como el conjunto unitario { 0 }. En la
teoría axiomática de conjuntos, la existencia de conjuntos unitarios es una consecuencia del
axioma del conjunto vacío y
axioma de apareamiento: el primero da vacío, y el último, aplicado al apareamiento de { } y { }, produce el conjunto unitario {{}}. si
A es un conjunto y S es cualquier conjunto unitario, existe exactamente una
función de
A a
S, la función constante que envía cada elemento de
A al elemento de
S. Las estructuras construidas sobre conjuntos unitarios sirven a menudo como los
objetos terminales o finales o los objetos cero de varias
categorías:
- La afirmación anterior muestra .que cada conjunto unitario S es un objeto terminal en Set, la categoría de conjuntos y funciones. No hay otros conjuntos terminales en esa categoría.
- Cualquier conjunto unitario se puede presentar como espacio topológico en una única forma (todos los subconjuntos son abiertos, esto es, sólo vacío y conjunto unitario: lo mismo que el espacio vacío, discreto e indiscreto a la vez). Estos espacios topológicos sobre un conjunto unitario son objetos terminales en la categoría Top de los espacios topológicos y funciones continuas. No hay otro tipo de espacios terminales en esa categoría.
- Cualquier conjunto unitario se puede presentar como un grupo en una única forma (el único elemento como identidad). estos grupos sobre un conjunto unitario son los objetos cero en la categoría Grp de grupos y homomorfismos. No hay otros objetos cero en esa categoría.
Conjunto universal
un
conjunto universal es un
conjunto formado por todos los objetos de estudio en un contexto dado. Por ejemplo, en
aritmética los objetos de estudio son los
números naturales, por lo que el conjunto universal para este caso puede ser el conjunto de los números naturales
N. Al conjunto universal también se le denomina
conjunto referencial,
universo del discurso o
clase universal, según el contexto, y se denota habitualmente por
U o
V.
La elección de un conjunto universal se hace por conveniencia, para establecer una distinción clara entre los objetos matemáticos, todos ellos en el conjunto universal; y los conjuntos formados por dichos objetos, todos ellos
subconjuntos del conjunto universal. Escogido un conjunto universal, para cada conjunto de objetos existe su
complementario, que contiene todos los elementos que no están en dicho conjunto.
Una vez que se ha establecido un conjunto universal
U de elementos de una cierta clase, se asume que todos los conjuntos
A contienen elementos de esta clase, por lo que todos ellos son
subconjuntos de
U. Esto conlleva una serie de propiedades:
- Todo conjunto A es subconjunto de U, A⊆ U.
- La unión de un conjunto A con el conjunto universal U es igual a U:
- La intersección de un conjunto A con el conjunto universal resulta en el mismo conjunto A:
Esto da lugar a las siguientes propiedades:
El complemento del conjunto universal es el
conjunto vacío, y viceversa:
